GAMES101 第5讲光栅化(三角形)

在观测变换之后, 场景内所有物体都会被变换到 $(- 1, 1)^{3}$ 的规范立方体内, 那么下一步就是光栅化

透视投影

在正交投影中, 远平面近平面是由 $z$ 坐标决定的, 左平面右平面是由 $x$ 坐标决定的, 上平面下平面是由 $y$ 坐标决定的, 而在透视投影中, 远近平面同样是由 $z$ 坐标决定的, 而左右平面和上下平面则用fovY(field of view in Y为视野角)和aspect ratio(宽高比)来决定

竖直方向的视野角 fovY: 两条红线所夹的角度
宽高比 aspect ratio: $\frac{w i d t h}{h e i g h t}$

t an (\frac{f o v Y}{2}) = \frac{t o p}{∣ n e a r ∣}

a s p ec t = \frac{r i g h t}{t o p}

b o tt o m = - t o p, l e f t = - r i g h t

将规范立方体的内容绘制到屏幕

视口变换

与 $z$ 坐标无关
将 $[- 1, 1]^{2}$ 映射到 $[0, w i d t h] \times [0, h e i g h t]$

第一步: 直接拉伸到屏幕空间

M_{v i e w p or t} = \frac{w i d t h}{2} 000 0 \frac{h e i g h t}{2} 00 0010 \frac{w i d t h}{2} \frac{h e i g h t}{2} 01

可以看到, 是执行了两个操作:

先将其缩放到屏幕大小的一半
再将其平移至屏幕中心

光栅化

三角形到像素的光栅化

为什么是三角形?:

三角形是最基础的多边形
任何多边形都可以被分解为三角形
三角形内部的点都一定在三角形的平面内
三角形的内外判断是最简单的
三角形很适合进行插值(重心坐标插值)

我们需要考虑, 像素的中心点与三角形的边界的关系

采样的概念

采样: 给定一个连续的函数, 在不同的位置上取样, 得到离散的值 (即, 采样是一个函数的离散化的过程)

光栅化中的采样则是利用像素中心, 对屏幕空间进行采样

2D采样——光栅化

给定一个三角形, 判断像素的中心是否在三角形内部

以函数的形式表示:

in s i d e (t r i, x, y) = {1, 0, if (x, y) is inside t r i otherwise

以cpp代码的形式表示:

for(int x = 0; x < x_max; ++x) {
    for(int y = 0; y < y_max; ++y) {
        image[x][y] = inside(tri, x + 0.5, y + 0.5);
    }
}

如何判断点是否在三角形内部?

三角形的三个顶点分别为 $P_{0}, P_{1}, P_{2}$
点 $Q$ 在三角形所在的平面上

用叉乘来判断点是否在三角形内部:

P_{0} P_{1} \times P_{0} Q \geq 0 : Q 在 P_{0} P_{1} 的左侧

P_{1} P_{2} \times P_{1} Q \geq 0 : Q 在 P_{1} P_{2} 的左侧

P_{2} P_{0} \times P_{2} Q \leq 0 : Q 在 P_{2} P_{0} 的右侧

综上, 当在同一侧时, 叉乘的结果应该同号, 所以 $Q$ 在三角形外部

如果点在三角形的边上, 则叉乘的结果为0, 则我们自己定义其在三角形内部还是外部, 在一些图形API中, 会进行较为严格的定义(如OpenGL中, 左边和上边是在三角形内部, 右边和下边是在三角形外部)

优化

如果左边一竖列的像素都在三角形外部, 那么这一竖列的像素都不需要计算, 可以直接跳过

对于图上蓝色的区域, 我们叫做三角形的包围盒

针对较为窄长或旋转过的三角形, 它的包围盒所占像素相较于三角形覆盖的像素的像素来说, 相差较大, 所以我们可以将这种三角形的包围盒进行优化

对于上图中的三角形, 我们可以对其每一行像素都计算其最左最右, 从而减少像素的计算量

？？？秋林

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