GAMES101 第2讲线性代数

向量

向量的定义

写作
- 箭头表示: $a$
- 粗体表示: $a$
基于起点与终点: $A B = B - A$
最重要的属性:
- 长度
- 方向
没有绝对的起点和终点(平移不变性)

向量的单位化

向量的长度大小通常写成 $∣∣ a ∣∣$
单位化后的向量记作 $a^$

a^= \frac{a}{∣∣ a ∣∣}

向量求和

几何: 平行四边形法则/三角形法则
代数: 坐标直接相加

笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系: 以直角为基础的坐标系, 通常用于表示二维或三维空间中的点或向量

在二维坐标系中, 任何一个向量都可以表示为两个基向量的线性组合

A = [x y]

$A^{T}$ 表示 $A$ 的转置, 即将 $A$ 的行向量转换为列向量

A^{T} = [x y]

在笛卡尔二维坐标系中, 向量 $A$ 的长度可以表示为:

∣∣ A ∣∣ = x^{2} + y^{2}

向量的点乘

在几何上的理解

向量的点乘的标准定义:

a \cdot b = ∣∣ a ∣∣ \cdot ∣∣ b ∣∣ \cdot cos (θ)

由此可得:

cos (θ) = \frac{a \cdot b}{∣∣ a ∣∣ \cdot ∣∣ b ∣∣}

对于单位向量, 它们点乘即为夹角的余弦值:

cos (θ) = a^\cdot b^

点乘的性质:

交换律: $a \cdot b = b \cdot a$
分配律: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
乘法结合律: $(k a) \cdot b = k (a \cdot b) = a \cdot (k b)$

迪卡尔坐标系下的点乘

2D 点乘:

a \cdot b = [x_{a} y_{a}] \cdot [x_{b} y_{b}] = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

3D 点乘:

a \cdot b = x_{a} y_{a} z_{a} \cdot x_{b} y_{b} z_{b} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b} + z_{a} \cdot z_{b}

图形学中的应用

找到两个向量之间的夹角(判断是否垂直)
找到一个向量在另一个向量上的投影(投影长度)

向量的叉乘

基本概念

a \times b = - b \times a

∣∣ a \times b ∣∣ = ∣∣ a ∣∣ \cdot ∣∣ b ∣∣ \cdot sin (θ)

法向量: 向量叉乘得到的向量与两个初始向量都垂直(垂直于两个向量所在的平面)
遵循右手定则: 四根手指从第一个向量转向第二个向量, 大拇指指向叉乘结果
不满足交换律: $a \times b \neq = b \times a$
对构造坐标系有很大的帮助

在三维笛卡尔坐标系下的叉乘

叉乘可用于构造三维笛卡尔坐标系, 只需要两个向量即可构造出第三个向量

x \times y = + z y \times x = - z y \times z = + x z \times y = - x z \times x = + y x \times z = - y

叉乘的基本数学性质

叉乘不满足交换律, 但满足以下性质:

a \times b = - b \times a a \times a = 0 a \times (b + c) = a \times b + a \times c (k a) \times b = k (a \times b) = a \times (k b)

叉乘在代数上的表示

在三维笛卡尔坐标系下, 叉乘的计算公式为:

a \times b = y_{a} \cdot z_{b} - y_{b} \cdot z_{a} z_{a} \cdot x_{b} - x_{a} \cdot z_{b} x_{a} \cdot y_{b} - y_{a} \cdot x_{b}

向量的叉乘可以表示成矩阵的形式: 即向量 $a$ 可以写成矩阵 $A$

a \times b = A^{*} b = 0 z_{a} - y_{a} - z_{a} 0 x_{a} y_{a} - x_{a} 0 x_{b} y_{b} z_{b}

向量的叉乘在图形学中的应用

判定左和右: 例如, 在屏幕上, 向量 $a$ 和向量 $b$ 的叉乘结果的 $z$ 分量的正负可以判断 $a$ 在 $b$ 的左边还是右边

判定内和外: 例如在三角型中, 要判断点P是否在三角形ABC内部, 可以通过向量 $A B$ 和向量 $A P$ 的叉乘结果的 $z$ 分量的正负来判断

三维正交坐标系

给定三个向量满足以下条件:

∣∣ u ∣∣ = ∣∣ v ∣∣ = ∣∣ w ∣∣ = 1 u \cdot v = v \cdot w = w \cdot u = 0 w = u \times v

则任意一个向量 $p$ 都可以表示为:

p = (p \cdot u) u + (p \cdot v) v + (p \cdot w) w

这里的 $p \cdot u$ , $p \cdot v$ , $p \cdot w$ 分别表示 $p$ 在 $u$ , $v$ , $w$ 上的投影

矩阵

矩阵的定义

矩阵是一个二维数组( $m \times n$ , $m$ 行 $n$ 列), 通常用大写字母表示

矩阵的运算

矩阵与标量的数学运算

矩阵与标量的加法:

x + [a c b d] = [x + a x + c x + b x + d]

矩阵与标量的乘法:

x \cdot [a c b d] = [x \cdot a x \cdot c x \cdot b x \cdot d]

矩阵与矩阵的乘积(重要)

前提: 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数

结果: $(M \times N) \times (N \times P) = M \times P$

例如下方的矩阵相乘, 第一个矩阵是3行2列, 第二个矩阵是2行3列, 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数, 因此可以相乘, 结果是3行3列的矩阵

a c e b d f [x u y v z w] = a \cdot x + b \cdot u c \cdot x + d \cdot u e \cdot x + f \cdot u a \cdot y + b \cdot v c \cdot y + d \cdot v e \cdot y + f \cdot v a \cdot z + b \cdot w c \cdot z + d \cdot w e \cdot z + f \cdot w

计算方法: 如果我们想找结果矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素, 可以将第一个矩阵的第 $i$ 行和第二个矩阵的第 $j$ 列对应元素相乘, 然后相加, 即:

C_{ij} = k = 1 \sum N A_{ik} \cdot B_{k j}

性质 :

没有任何交换律: $A B \neq = B A$
结合律: $(A B) C = A (B C)$
分配律: 注意前后顺序不能颠倒
- $A (B + C) = A B + A C$
- $(A + B) C = A C + B C$

矩阵与向量相乘

将向量视为一个 $m \times 1$ 的列矩阵(即是竖着的, 列数为1的矩阵)

例如: 将一个向量沿y轴轴对称变换

[- 1 0 01] [x y] = [- x y]

矩阵的转置

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵, 记作 $A^{T}$

例如:

a c e b d f^{T} = [a b c d e f]

性质: 如果对两个相乘的矩阵取转置, 结果是后一个矩阵的转置与前一个矩阵的转置相乘

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

单位矩阵

单位矩阵是一个对角线上的元素都是1, 其他元素都是0的矩阵, 且行数等于列数, 记作 $I$

I_{3 \times 3} = 100010001

矩阵的逆

逆矩阵: 一个矩阵与其逆矩阵相乘必定得到单位矩阵, 记作 $A^{- 1}$

性质:

$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

向量以矩阵的形式表示

点乘

a \cdot b = a^{T} b = [x_{a} y_{a} z_{a}] x_{b} y_{b} z_{b} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b} + z_{a} \cdot z_{b}

叉乘

a \times b = A^{*} b = 0 z_{a} - y_{a} - z_{a} 0 x_{a} y_{a} - x_{a} 0 x_{b} y_{b} z_{b}

这里的 $A^{*}$ 是 $a$ 转换成矩阵的形式, 这里的*不表示乘法

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