GAMES101 第4讲变换(三维)

三维空间中的变换

三维空间的齐次坐标表示

3D的点: $(x, y, z, 1)^{T}$
3D的向量: $(x, y, z, 0)^{T}$

在三维齐次坐标中, 一个点的坐标 $(x / w, y / w, z / w)$ 可以表示为:

x y z w = x / w y / w z / w 1, w \neq = 0

三维空间的仿射变换的齐次坐标形式为:

x^{'} y^{'} z^{'} 1 = a d g 0 b e h 0 c f i 0 t_{x} t_{y} t_{z} 1 x y z 1

其中, $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ 为线性变换矩阵的参数, $t_{x}, t_{y}, t_{z}$ 为平移矩阵的参数

组合后的变换矩阵

组合后的变换矩阵的意义是: 先进行线性变换, 再进行平移变换

三维空间的仿射变换

缩放矩阵

缩放矩阵的对角线上的元素分别为 $s_{x}, s_{y}, s_{z}$ , 最后一排为 $(0, 0, 0, 1)$

S_{(} s_{x}, s_{y}, s_{z}) = s_{x} 000 0 s_{y} 00 00 s_{z} 0 0001

平移矩阵

平移矩阵的最后一列分别为 $t_{x}, t_{y}, t_{z}$ , 最后一排为 $(0, 0, 0, 1)$

T_{(} t_{x}, t_{y}, t_{z}) = 100001000010 t_{x} t_{y} t_{z} 1

旋转矩阵与欧拉角

ss 绕着 $x -, y -, z -$ 轴旋转的矩阵分别如下:

当绕着 $x -$ 轴旋转时, $x$ 不变, $y, z$ 会发生变化, 所以矩阵的第一行与第一列不变:

R_{x} (θ) = 1000 0 cos (θ) sin (θ) 0 0 - sin (θ) cos (θ) 0 0001

当绕着 $z -$ 轴旋转时, $z$ 不变, $x, y$ 会发生变化, 所以矩阵的第三行与第三列不变:

R_{z} (θ) = cos (θ) sin (θ) 00 - sin (θ) cos (θ) 00 00100001

当绕着 $y -$ 轴旋转时, $y$ 不变, $x, z$ 会发生变化, 但是和绕着 $x -$ 轴和 $z -$ 轴旋转不同, 因为这里的 $y -$ 轴是右手坐标系, 也就是说 $x \times z = - y$ , 而 $z \times x = y$ , 所以矩阵的第二行与第二列不变, 但是第一行与第一列和第三行与第三列的变换与 $R_{x} (θ)$ 和 $R_{z} (θ)$ 是相反的:

R_{y} (θ) = cos (θ) 0 - sin (θ) 0 0100 sin (θ) 0 cos (θ) 0 0001

将三个旋转矩阵组合起来, 可以得到任意旋转的矩阵:

R (θ_{x}, θ_{y}, θ_{z}) = R_{x} (θ_{x}) \cdot R_{y} (θ_{y}) \cdot R_{z} (θ_{z})

其中, $θ_{x}, θ_{y}, θ_{z}$ 分别为绕着 $x -, y -, z -$ 轴旋转的角度, 称为欧拉角

在飞机的模拟中, 通常使用俯仰角(Pitch), 偏航角(Yaw), 滚转角(Roll) 来描述飞机的姿态

罗德里格斯公式(Rodrigues' Formula)

绕着单位向量 $n$ 旋转 $α$ 角度的旋转, 该 $n$ 过原点, 则旋转矩阵为:

R_{(} n, α) = cos (α) I + (1 - cos (α)) n n^{T} + sin (α) N

向量 $n$ 的叉乘矩阵 $N$ 定义如下:

N = 0 n_{z} - n_{y} - n_{z} 0 n_{x} n_{y} - n_{x} 0

如果要绕着任意轴旋转, 可以先将所有东西移动到使得旋转轴过原点, 然后再进行旋转, 最后再移动回去

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