GAMES101 第3讲变换(二维)

二维空间中的变换

缩放

坐标经过缩放后, 坐标的变化为:

x^{'} = s \cdot x

y^{'} = s \cdot y

其中 $s$ 的值为 $0.5$ , 表示缩小一半。

可以写成矩阵的形式:

[x^{'} y^{'}] = [s 0 0 s] [x y]

缩放矩阵可以写成一个对角矩阵, 对角线上的元素为缩放的比例

当x与y轴缩放比例不相等时, 可以写成:

[x^{'} y^{'}] = [s_{x} 0 0 s_{y}] [x y]

对称(反射)

对称变换是一种特殊的缩放变换, 缩放比例为 $- 1$ , 在图中的情况下:

x^{'} = - x y^{'} = y

可以写成矩阵的形式:

[x^{'} y^{'}] = [- 1 0 01] [x y]

切变

在图中的情况下, 任意一个点的 $y$ 坐标没有变化, $x$ 坐标的变化为:

当 $y = 0$ 时, $x^{'} = x$
当 $y = 1$ 时, $x^{'} = x + a$

也就是说, x坐标的变化量为 $a \cdot y$ , 以矩阵的形式表示为:

[x^{'} y^{'}] = [10 a 1] [x y]

旋转

任何旋转我们都默认为绕着原点 $(0, 0)$ 旋转, 默认的旋转方向为逆时针方向

二维旋转矩阵为:

[x^{'} y^{'}] = [cos (θ) s in (θ) - s in (θ) cos (θ)] [x y]

二维旋转矩阵的推导

假设一个点 $(x, y)$ 绕原点 $(0, 0)$ 逆时针旋转 $θ$ 角度后的坐标为 $(x^{'}, y^{'})$

[x^{'} y^{'}] = [? ? ? ?] [x y]

当该点原坐标 $(x, y)$ 为 $(1, 0)$ 时, 旋转后的坐标 $(x^{'}, y^{'})$ 为 $(cos (θ), s in (θ))$

[cos (θ) s in (θ)] = [A C B D] [10]

解方程得到:

cos (θ) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A

s in (θ) = C \cdot 1 + D \cdot 0 = C

同理, 当该点原坐标 $(x, y)$ 为 $(0, 1)$ 时, 旋转后的坐标 $(x^{'}, y^{'})$ 为 $(- s in (θ), cos (θ))$

[- s in (θ) cos (θ)] = [A C B D] [01]

解方程得到:

- s in (θ) = A \cdot 0 + B \cdot 1 = B

cos (θ) = C \cdot 0 + D \cdot 1 = D

综上所述, 二维旋转矩阵为:

[cos (θ) s in (θ) - s in (θ) cos (θ)]

相反方向的旋转矩阵

如果要旋转 $- θ$ 角度, 则旋转矩阵的推导过程为:

R_{- θ} = [cos (- θ) s in (- θ) - s in (- θ) cos (- θ)] = [cos (θ) - s in (θ) s in (θ) cos (θ)] = R_{θ}^{T}

同时, 从定义上看, 旋转 $- θ$ 角与旋转 $θ$ 角正好应该是互逆的操作, 即向相反方向旋转的矩阵等于旋转矩阵的逆矩阵:

R_{- θ} = R_{θ}^{- 1}

因此, 在旋转的矩阵中, 旋转矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵

R_{- θ} = R_{θ}^{- 1} = R_{θ}^{T}

如果一个矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵, 则称这个矩阵为正交矩阵

线性变换

当一个变换可以写成以下形式时, 称为线性变换:

x^{'} = a \cdot x + b \cdot y

y^{'} = c \cdot x + d \cdot y

也就是说, 如果一个变换可以写成矩阵的形式:

[x^{'} y^{'}] = [a c b d] [x y]

即若 $x^{'} = M x$ ,则称这个变换为线性变换

齐次坐标

引入齐次坐标的原因

平移变换是一种比较特殊的变换, 无法用线性变换的形式表示, 但是可以用齐次坐标的形式表示

x^{'} = x + t_{x}

y^{'} = y + t_{y}

只能写作以下形式:

[x^{'} y^{'}] = [a c b d] [x y] + [t_{x} t_{y}]

所以, 平移变换不是线性变换

但是, 我们不想要这样的结果, 我们希望所有的变换都可以写成线性变换的形式, 所以引入了齐次坐标 (当然, 这是有代价的: No Free Lunch)

齐次坐标

引入一个新的形式来表示坐标变换: 增加一个维度

2D的点: $(x, y, 1)^{T}$
2D的向量: $(x, y, 0)^{T}$

矩阵的形式表示平移变换:

x^{'} y^{'} w^{'} = 100010 t_{x} t_{y} 1 x y 1 = x + t_{x} y + t_{y} 1

向量的齐次坐标最后一位是0, 在平移的矩阵乘法中不会影响结果, 体现了向量的平移不变性

向量 + 向量 = 向量
点 - 点 = 向量
点 + 向量 = 点
点 + 点 = 无意义

在二维齐次坐标中, 一个点的坐标 $(x / w, y / w)$ 可以表示为:

x y w = x / w y / w 1, w \neq = 0

推论: 在齐次坐标中, 一个点加一个点的结果是两个点的中点

x_{1} y_{1} w_{1} + x_{2} y_{2} w_{2} = x_{1} / w_{1} y_{1} / w_{1} 1 + x_{2} / w_{2} y_{2} / w_{2} 1 = (x_{1} / w_{1} + x_{2} / w_{2}) (y_{1} / w_{1} + y_{2} / w_{2}) 2

(x_{1} / w_{1} + x_{2} / w_{2}) (y_{1} / w_{1} + y_{2} / w_{2}) 2 = (x_{1} / w_{1} + x_{2} / w_{2}) /2 (y_{1} / w_{1} + y_{2} / w_{2}) /2 1

所有变换的齐次坐标形式

对于任何一种变换(无论是线性变换还是非线性变换), 只要满足以下形式:

[x^{'} y^{'}] = [a c b d] [x y] + [t_{x} t_{y}]

都称其为仿射变换(Affine Transformation)

仿射变换的齐次坐标形式为:

x^{'} y^{'} 1 = a c 0 b d 0 t_{x} t_{y} 1 x y 1

其中, $a, b, c, d$ 为线性变换的矩阵参数, $t_{x}, t_{y}$ 为平移的矩阵参数

缩放, 旋转, 平移的齐次坐标矩阵

缩放

S_{(s_{x}, s_{y})} = s_{x} 00 0 s_{y} 0 001

旋转

R_{θ} = cos (θ) s in (θ) 0 - s in (θ) cos (θ) 0 001

平移

T_{(t_{x}, t_{y})} = 100010 t_{x} t_{y} 1

逆变换

将一个变换的操作逆转, 称为逆变换

在数学上, 逆变换的矩阵为原变换矩阵的逆矩阵

变换的组合

变换的顺序

变换的组合是指将多个变换按照一定的顺序进行组合, 使得多个变换的效果等同于一个变换

思考: 如何实现下图的变换?

方法一: 先平移, 再旋转 (可见, 先平移再旋转的效果与目标效果并不一致)

方法二: 先旋转, 再平移 (达到目标效果)

由此可见, 变换的顺序是很重要的 (矩阵的乘法是不满足交换律的)

变换矩阵的写法

向量将会从右向左逐个进行矩阵变换的应用 (在算式里是从左向右计算的)

A_{n} (A_{n - 1} (A_{n - 2} (\dots (A_{1} \cdot X)))) =

A_{n} \cdot A_{n - 1} \cdot A_{n - 2} \dots A_{1} \cdot x y 1

但是, 矩阵虽然没有交换律, 但是有结合律, 因此我们可以先将多个变换矩阵相乘, 再将向量与结果相乘

A_{n} \cdot A_{n - 1} \cdot A_{n - 2} \dots A_{1} \cdot X = [A_{n} \cdot A_{n - 1} \cdot A_{n - 2} \dots A_{1}] x y 1

变换的分解

以任意点为中心的旋转

假设我们要以点 $c$ 为中心, 逆时针旋转 $α$ 角度

那么我们可以将这个变换分解为以下三个变换的组合:

平移 $- c$ (整个图形一起平移到原点)
旋转 $α$ (以原点为中心旋转)
平移 $c$ (整个图形平移到原来的位置)

矩阵的形式表示为(注意, 矩阵的乘法是从右向左的):

T_{c} \cdot R_{α} \cdot T_{- c}

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旋转

二维旋转矩阵的推导

相反方向的旋转矩阵

线性变换

齐次坐标

引入齐次坐标的原因

齐次坐标

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